Родился 22 сентября 1922 года в деревне Филимоново ныне Ростовского района Ярославской области.
Герой Советского союза, командир взвода управления 320-го гаубичного артиллерийского полка (25-я гаубичная артиллерийская Свирская бригада, 7-я артиллерийская Запорожская ордена Суворова дивизия прорыва Резерва Главного Командования, 46-я армия, 2-й Украинский фронт), младший лейтенант.
Призван в армию в 1941 году.
Во время Великой Отечественной войны сражался на Западном, Карельском, 3-м, 2-м, снова 3-м Украинских фронтах.На Западном фронте в апреле 1942 года был ранен. После излечения направлен в 1-е Томское артиллерийское училище, которое окончил в 1944 году. Вернувшись на фронт, воевал в 7-й гаубичной артиллерийской дивизии прорыва РГК.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года за мужество и героизм, проявленные при форсировании Дуная, младшему лейтенанту Абросимову Ивану Александровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После войны служил районным военным комиссаром Ленинского района города Запорожье (Украина). С 1983 года полковник И.А.Абросимов - в отставке. Жил в городе Запорожье.
Умер 22 июня 1989 года. Похоронен на Капустяном кладбище в Запорожье.
В Запорожье на доме, в котором жил Герой, установлена мемориальная доска.