Родился 12 марта 1923 в деревне Георгиевка ныне Томского района Томской области.
Участник Великой Отечественной войны, командир батареи 22-го гвардейского артиллерийского полка 3-й гвардейской стрелковой дивизии 2-й гвардейской армии Южного фронта, гвардии старший лейтенант.
В Красной армии с 1940 года. В 1941 году окончил Томское артиллерийское училище. Член ВКП(б) с 1943 года. В действующей армии с апреля 1942 года.
Командир батареи 22-го гвардейского артиллерийского полка (3-я гвардейская стрелковая дивизия, 2-я гвардейская армия, Южный фронт) гвардии старший лейтенант Александр Бараулин особо отличился в бою 28—30 сентября 1943 года при прорыве глубокоэшелонированной обороны противника на реке Молочная в районе города Мелитополя Запорожской области Украины.
Огнём прямой наводки артиллерийская батарея, вверенная гвардии старшему лейтенанту Бараулину А. А., уничтожила четыре орудия, восемь миномётов, четырнадцать пулемётных точек и большое количество живой силы противника.
В критический момент боя отважный офицер повёл артиллеристов и пехотинцев в контратаку.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 ноября 1943 года «за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом мужество и геройство» гвардии старшему лейтенанту Бараулину Александру Адамовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
После войны А. А. Бараулин продолжал службу в армии. В 1951 году он окончил Военную академию имени Ф. Э. Дзержинского. С 1967 года полковник Бараулин А. А. — в отставке.
Жил в городе Тирасполе Молдавской ССР. Работал преподавателем автомобильной школы ДОСААФ. Скончался 6 января 1980 года.