Родился 23 августа 1923 года в городе Томск.
Заместитель командира эскадрильи 143-го гвардейского штурмового авиационного полка 8-й гвардейской штурмовой авиационной дивизии 1-го гвардейского штурмового авиационного корпуса 2-й воздушной армии 1-го Украинского фронта, гвардии старший лейтенант, Герой Советского Союза.
В действующей армии с февраля 1942 года.
Заместитель командира эскадрильи 143-го гвардейского штурмового авиационного полка (8-я гвардейская штурмовая авиационная дивизия, 1-й гвардейский штурмовой авиационный корпус, 2-я воздушная армия, 1-й Украинский фронт) комсомолец гвардии старший лейтенант Борис Мельников к маю 1945 года совершил 231 боевой вылет на разведку и штурмовку войск противника. На его счету 48 уничтоженных вражеских танков, 145 автомашин с грузами и живой силой, взорванные железнодорожные эшелоны с техникой и боеприпасами, 10 артиллерийских и 6 миномётных батарей, 5 самолётов на аэродромах, а также свыше пятисот солдат и офицеров противника.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии старшему лейтенанту Мельникову Борису Васильевичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда".
С 1948 года капитан Мельников Б.В. - в запасе. Работал машинистом экскаватора в городе Докучаевске Донецкой области Украины. Скончался на 29-м году жизни 7 декабря 1951 года. Похоронен в городе Томске.
Награждён орденом Ленина, тремя орденами Красного Знамени, орденами Александра Невского, Отечественной войны 2-й степени, медалями.
Имя отважного лётчика-штурмовика занесено на мемориальную доску Уфимского аэроклуба - Героев Советского Союза.